Знакопеременные ряды
Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.
Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.
Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.
Определение 6. Числовой ряд вида u 1 -u 2 +u 3 -u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.
Теорема 9. (Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
Выполняются два условия:
Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,
то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.
Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 -u 2)+(u 3 -u 4)+…+(u 2 n -1 -u 2 n).
По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .
С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 -u 3)+(u 4 -u 5)+…+(u 2 n -2 -u 2 n -1)+u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .
Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 =S+ 0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.
Пример.
Исследовать на сходимость ряд
Применим признак Лейбница.
u n = >u n +1 =
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.
Замечания.
1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n >u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .
2. Условие u n >u n +1
не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n >u n +1
не выполняется.
Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.
Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Пример .
Установить характер сходимости ряда
Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =
Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.
Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.
Теорема Лейбница.
Если члены
знакочередующегося ряда, взятые по
абсолютной величине, монотонно убывают
и модуль общего члена ряда стремится к
нулю при
,
т.е.
,
то ряд сходится.
Пример 1.
Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:
.
Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:
Ряд сходится.
1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда
Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.
Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.
Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Пример 1.
Исследовать
на сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.
Знакочередующийся
ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
.
Члены ряда монотонно убывают и
.
Теперь исследуем данный ряд на абсолютную
сходимость. Рассмотрим ряд, составленный
из абсолютных величин членов данного
ряда:
.
Исследуем сходимость этого ряда с
помощью признака Даламбера:
.
Ряд сходится. Значит, заданный
знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Пример 2.
Исследовать на
сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.
По теореме Лейбница
.
Ряд сходится. Ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда,
имеет вид
.
По признаку Даламбера получим
.
Ряд сходится, значит, заданный
знакопеременный ряд сходится абсолютно.
2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда
Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :
f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….
Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:
f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)
который называется функциональным рядом .
Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …
В частном случае функциональным рядом является ряд:
который называется
степенным
рядом
, где
постоянные числа, называемыекоэффициентами
членов степенного ряда
.
Степенной ряд может быть записан и в такой форме:
где
некоторое постоянное число.
При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.
Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.
Пример 1.
Найти область сходимости степенного ряда:
Решение (1 способ) .
Применим признак Даламбера.
Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.
По признаку
Даламбера ряд сходится, если
и
.
Т.е. ряд сходится,
если
< 1, откуда
или-3<
x
<3.
Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).
В крайних точках
интервала x
=
,
будем иметь
.
В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:
x = -3 ,
Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной
величине, монотонно убывают.
2.
Следовательно, ряд в точкеx
= -3 сходится.
x = 3,
Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.
члены ряда монотонно
убывают.
Функция
на промежутке
:
.
Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.
Ответ:
Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:
,
где
и
коэффициенты
и
членов ряда.
Для данного ряда
имеем:
. R
=3.
ряд сходится
Интервал сходимости ряда: -3< x <3.
Далее, как и в
предыдущем случае, надо исследовать в
граничных точках: x
=
.
Ответ: область сходимости ряда [-3;3).
Отметим,
что второй
способ определения области сходимости
степенного ряда с использованием формулы
радиуса сходимости ряда
более рационален.
Пример 2.
Найти область
сходимости степенного ряда:
.
Найдем R – радиус сходимости ряда.
,
,
.
.
.
Интервал сходимости
ряда (-
;
).
Исследуем ряд на
сходимость в точках x
= -
иx
=
.
x
= -
,
Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:
1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине,
монотонно убывают.
2.
,
следовательно, ряд в точкеx
= -
сходится.
x
=
,
.
Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.
Здесь
:
,
члены ряда
монотонно убывают.
Функция
на промежутке
:
.
Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.
Ответ:
[-
;
)
– область сходимости ряда.
Определение 1
. Числовой ряд ,
где , называется знакочередующимся рядом.
Для установления сходимости таких рядов существует достаточный
признак сходимости, называемый признаком Лейбница.
Теорема 1 (признак Лейбница)
. Пусть числовой ряд удовлетворяет условиям:
1) , т.е. этот ряд знакочередующийся;
2) члены этого ряда монотонно убывают по абсолютной величине: т.е. ;
3) общий член ряда стремится к 0, т.е. .
Тогда ряд сходится и его сумма .
Доказательство . 1) Сначала рассмотрим частичную сумму чётного порядка и запишем её в виде: . В силу условия 2) теоремы 1 все выражения в скобках положительны, тогда сумма и последовательность монотонно возрастает: .
Теперь запишем эту сумму иначе: .
В последнем выражении каждое из выражений в скобках положительно, поэтому , из чего следует, что последовательность является ограниченной, и так как она монотонно возрастает, то она сходится. Другими словами существует , причём .
2) Рассмотрим частичную сумму нечётного порядка , которая положительна. Можно показать, что последовательность монотонно возрастает, так как монотонно возрастает последовательность и . Запишем выражение для в виде: , так как все выражения в скобках положительны, то . По условию 3) теоремы 1 , тогда , откуда .
Итак, при всех n (чётных или нечётных), , следовательно, исходный ряд сходится. Теорема доказана.
Замечание 1
. Признак Лейбница можно также применять к рядам, для которых условия теоремы выполняются с некоторого номера N.
Замечание 2
. Условие 2) теоремы 1 (признак Лейбница) о монотонности членов ряда существенно.
Пример 1 . Исследовать на сходимость ряд .
Решение. Обозначим . К данному ряду применим признак Лейбница. Проверим выполнение условий теоремы 1: условие 1) ряд знакочередующийся ; условие 2) выполнено: ; условие 3) также выполнено: . Следовательно, по признаку Лейбница данный ряд сходится, причем его сумма .
Ответ: ряд сходится.
3.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Числовой ряд , члены которого имеют произвольные знаки (+), (−), называется знакопеременным рядом . Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд − знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (−) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 1
. Если числовой ряд сходится и его сумма равна S
,
а частичная сумма равна S n
, то называется остатком ряда
, причём , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Рассмотрим сходящийся знакочередующийся ряд как частный случай знакопеременного ряда
Где . Запишем его в виде , тогда по признаку Лейбница ; так как , то , т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Для знакопеременных рядов вводятся понятия абсолютной и условной
сходимости.
Определение 2 . Ряд называется сходящимся абсолютно , если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .
Определение 3 . Если числовой ряд сходится, а ряд , составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно ) сходящимся .
Теорема 2 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов) . Знакопеременный ряд сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .
Доказательство . Обозначим через частичную сумму ряда : , а через − частичную сумму ряда : . Обозначим через сумму всех положительных членов, а через сумму абсолютных величин всех отрицательных членов, входящих в . Очевидно, что .
По условию теоремы ряд сходится, тогда существует , и так как последовательность − монотонно возрастающая и неотрицательная, то . Очевидно, что , тогда последовательности и являются монотонно возрастающими и ограниченными, причем их пределы равны и . Тогда . Значит, исходный знакопеременный ряд сходится и сходится абсолютно. Теорема доказана.
Замечание . Теорема 2 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов. Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд сходится по признаку Лейбница (см. пример 1 данной лекции), а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, (гармонический ряд) расходится.
Пример 2. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд .
Решение.
Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: . Составим ряд из абсолютных величин и применим к нему признак Даламбера. Составим предел , где , . Проведя преобразования, получаем . Таким образом, ряд сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.
Ответ
: ряд абсолютно сходится.
Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд .
Решение. А) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим и составим ряд из абсолютных величин . Получаем ряд с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов (теорема 2, лекция 2, разд. 2.2). Для сравнения с рядом рассмотрим ряд, который имеет вид . Этот ряд является рядом Дирихле с показателем , т.е. он расходится. Составим и вычислим следующий предел . Так как предел существует, не равен 0 и не равен ∞, то оба ряда и ведут себя одинаково. Таким образом, ряд расходится, а значит, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.
Б) Далее исследуем исходный ряд на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница (теорема 1, разд. 3.1). Условие 1): , где , т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию , определенную при (функция такова, что при имеем ). Для исследования этой функции на монотонность найдём её производную: . Эта производная при . Следовательно, функция монотонно убывает при указанных значениях х . Полагая , получаем , где . Это означает, чтоусловие 2) выполнено. Для проверки условия 3) находим предел общего члена : , т.е. третье условие выполняется. Таким образом, для исходного ряда выполнены все условия признака Лейбница, т.е. он сходится.
Ответ : ряд условно сходится.
Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.
Рассмотренные в предыдущем параграфе знакочередующиеся ряды являются, очевидно, частным случаем знакопеременных рядов.
Мы рассмотрим здесь некоторые свойства знакопеременных рядов. При этом в отличие от соглашения, принятого в предыдущем параграфе, мы будем теперь полагать, что числа могут быть как положительными, так и отрицательными.
Прежде всего, дадим один важный достаточный признак сходимости зракопеременного ряда.
Теорема 1. Если знакопеременный ряд
таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов,
сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.
Доказательство. Пусть - суммы первых членов рядов (1) и (2).
По условию, имеет предел и - положительные возрастающие величины, меньшие а. Следовательно, они имеют пределы Из соотношения следует, что и имеет предел и этот предел равен , т. е. знакопеременный ряд (1) сходится.
Доказанная теорема дает возможность судить о сходимости некоторых знакопеременных рядов. Исследование вопроса о сходимости знакопеременного ряда сводится в этом случае к исследованию ряда с положительными членами.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда
где а - любое число.
Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряды
Ряд (5) сходится (см. § 6). Члены ряда (4) не больше соответственных членов ряда (5); следовательно, ряд (4) тоже сходится. Но тогда в силу доказанной теоремы данный знакопеременный ряд (3) тоже сходится.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Наряду с данным рядом, рассмотрим ряд
Этот ряд сходится, так как он является убывающей геометрической прогрессией со знаменателем 1/3. Но тогда сходится и заданный ряд (6), так как абсолютные величины его членов меньше соответствующих членов ряда (7).
Заметим, что признак сходимости, доказанной выше, является только достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. В связи с этим полезно ввести понятия об абсолютной и условной сходимости. знакопеременного ряда и на основе этих понятий классифицировать знакопеременные ряды.
Определение. Знакопеременный ряд
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.
Пример 3. Знакопеременный ряд является условно сходящимся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, есть гармонический ряд который расходится. Сам же ряд сходится, что легко проверить с помощью признака Лейбница.
Пример 4. Знакопеременный ряд есть ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов сходится, как это было установлено в § 4.
С помощью понятия абсолютной сходимости теорему 1 часто формулируют следующим образом: всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.
В заключение отметим (без доказательства) следующие свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
Теорема 2. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Это свойство не сохраняется для условно сходящихся рядов. Теорема 3. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, - можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.
Доказательство эти теорем выходит за рамки данного курса. Его можно найти в более подробных учебниках (см., например, Фнхтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II. - М.: Физматгиз, 1962, с. 319-320).
Определение 1
Числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $, члены которого имеют произвольные знаки (+), (?), называется знакопеременным рядом.
Рассмотренные выше знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременного ряда; понятно, что не всякий знакопеременный ряд является знакочередующимся. Например, ряд $1-\frac{1}{2} -\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} -\frac{1}{6} -\frac{1}{7} +\ldots - $ знакопеременный, но не являющийся знакочередующимся рядом.
Отметим, что в знакопеременном ряде членов как со знаком (+), так и со знаком (-) бесконечно много. Если это не выполняется, например, ряд содержит конечное число отрицательных членов, то их можно отбросить и рассматривать ряд, составленный только из положительных членов, и наоборот.
Определение 2
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится и его сумма равна S,а частичная сумма равна $S_n$ , то $r_{n} =S-S_{n} $ называется остатком ряда, причём $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } r_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } (S-S_{n})=S-S=0$, т.е. остаток сходящегося ряда стремится к 0.
Определение 3
Ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Определение 4
Если числовой ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, а ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.
Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременных рядов)
Знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, причём абсолютно, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $.
Замечание
Теорема 1 даёт только достаточное условие сходимости знакопеременных рядов . Обратная теорема неверна, т.е. если знакопеременный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ сходится, то не обязательно, что сходится ряд, составленный из модулей $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| $ (он может быть как сходящимся, так и расходящимся). Например, ряд $1-\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4} +...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1} }{n} $ сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} $ (гармонический ряд) расходится.
Свойство 1
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится, то он абсолютно сходится при любой перестановке его членов, при этом сумма ряда не зависит от порядка расположения членов. Если $S"$ - сумма всех его положительных членов, а $S""$ - сумма всех абсолютных величин отрицательных членов, то сумма ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ равна $S=S"-S""$.
Свойство 2
Если ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ абсолютно сходится и $C={\rm const}$, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }C\cdot u_{n} $ также абсолютно сходится.
Свойство 3
Если ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }u_{n} $ и $\sum \limits _{n=1}^{\infty }v_{n} $ абсолютно сходятся, то ряды $\sum \limits _{n=1}^{\infty }(u_{n} \pm v_{n}) $ также абсолютно сходятся.
Свойство 4 (теорема Римана)
Если ряд условно сходится, то какое бы мы не взяли число А, можно переставить члены данного ряда так, чтобы его сумма оказалась в точности равной А; более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы после этого он расходился.
Пример 1
Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} .\]
Решение. Данный ряд является знакопеременным, общий член которого обозначим: $\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.
Пример 2
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $.
- Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Обозначим $\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} =u_{n} $ и составим ряд из абсолютных величин $a_{n} =\left|u_{n} \right|=\frac{\sqrt{n} }{n+1} $. Получаем ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ с положительными членами, к которому применяем предельный признак сравнения рядов. Для сравнения с рядом $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{\sqrt{n} }{n+1} $ рассмотрим ряд, который имеет вид $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, b_{n} =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } \, $. Этот ряд является рядом Дирихле с показателем $p=\frac{1}{2}
- Далее исследуем исходный ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n} }{n+1} $ на условную сходимость. Для этого проверим выполнение условий признака Лейбница. Условие 1): $u_{n} =(-1)^{n} \cdot a_{n} $, где $a_{n} =\frac{\sqrt{n} }{n+1} >0$, т.е. этот ряд знакочередующийся. Для проверки условия 2) о монотонном убывании членов ряда используем следующий метод. Рассмотрим вспомогательную функцию $f(x)=\frac{\sqrt{x} }{x+1} $, определенную при $x\in }
