Слово «порядок» часто применяют в са-мых различных вопросах. Офицер дает команду: «По порядку номе-ров рассчитайся», арифметические действия выполняются в опре-деленном порядке, спортсмены становятся по росту, все ведущие шахматисты располагаются в определенном порядке по так назы-ваемым коэффициентам Эло (американский профессор, который раз-работал систему коэффициентов, позволяющую учитывать все ус-пехи и неудачи игроков), после первенства все футбольные команды располагаются в определенном порядке и т. д. Существует порядок выполнения операций при изготовлении детали, порядок слов в предложении (попробуйте понять, что значит предложение «на он старика посадил осла не»!).
Располагая элементы некоторого множества друг за другом, мы тем самым упорядочиваем их или устанавливаем между ними некоторое отношение по-рядка. Простейшим примером является естественный порядок натуральных чисел . Его естественность заключается в том, что для любых двух натураль-ных чисел мы знаем, какое из них следует за другим или какое из них больше другого, поэтому мы можем расположить натуральные числа в последова-тельности так, что большее число будет расположено, например, правее меньшего: 1, 2, 3, ... . Разумеется, последовательность элементов можно вы-писывать в любом направлении, а не только слева направо. Само понятие натуральных чисел уже содержит в себе идею упорядоченности. Устанавливая некоторое относительное расположение элементов какого-либо множества, мы тем самым задаем на нем некоторое бинарное отноше-ние порядка, которое в каждом конкретном случае может иметь свое назва-ние, например, "быть меньше", "быть старше", "содержаться в", "следовать за" и т. д. Символические обозначения порядка также могут быть разнооб-разными, например, Í, и т. д.
Главным отличительным признаком отношения порядка является наличие у него свойства транзитивности. Так, если мы имеем дело с последовательно-стью каких-то объектов x 1 , х 2 , ..., х n , ... , упорядоченных, например, по отно-шению , то из того, что выполняется х 1 х 2 ... х п ..., должно следо-вать, что для любой пары х i , х j элементов этой последовательности также выполняется x i x j :
Для пары элементов x i j в графе отношения мы проводим стрелку от вершины x i к вершине x j , т. е. от меньшего элемента к большему.
Граф отношения порядка можно упростить, если воспользоваться методом так называемых диаграмм Хассе. Диаграмма Хассе строится сле-дующим образом. Меньшие по порядку элементы располагают ниже, а большие - выше. Поскольку одного такого правила недостаточно для изо-бражения, проводят линии, показывающие, какой из двух элементов больше, а какой меньше другого. При этом достаточно нарисовать лишь линии для непосредственно следующих друг за другом элементов. Примеры диаграмм Хассе показаны на рисунке:
В диаграмме Хассе можно не указывать стрелки. Диа-грамму Хассе можно поворачивать в плоскости, но не произвольно. При поворотах необходимо сохранять относительное положение (выше - ниже) вершин диаграммы:
Отноше-ние R в множестве X называется отношением строгого поряд-ка, если оно транзитивно и асимметрично.
Множество, в котором определено отношение строгого порядка, назы-вают упорядоченным. Например, мно-жество натуральных чисел упорядочено отношением «меньше». Но это же множество упорядочено и другим отношением - «делится на» и «больше».
Граф отношения «меньше» в множестве натуральных чисел можно изобразить в виде луча:
Отношение R в X называется отношением нестро-гого (частичного)порядка , если оно транзитивно и антисимметрично. Всякое отношение нестрогого порядка рефлексивно.
Эпитет "частичный" выражает тот факт, что, возможно, не все элементы множества сравнимы в данном отношении.
Типичными примерами отношения частичного порядка являются отношения "не больше", "не меньше", "не старше". Частица "не" в названиях отношений служит для выражения их рефлексивности. Отношение "не больше" совпада-ет с отношением "меньше либо равно", а отношение "не меньше" то же са-мое, что и "больше либо равно". В связи с этим частичный порядок еще на-зывают нестрогим порядком. Часто отношение частичного (нестрогого) порядка обозначают символом "".
Отношение включения Í между подмножествами некоторого множества также является частичным порядком. Очевидно, что не любые два подмно-жества сравнимы по этому отношению. Ниже на рисунке показан частичный по-рядок по включению на множестве всех подмножеств множества {1,2,3}. Стрелки на графе, которые должны быть направлены вверх, не показаны.
Множества, на которых задан частичный порядок, называют частично упо-рядоченными, или просто упорядоченными множествами.
Элементы х и у частично упорядоченного множества называются сравни-мыми, если х у или у х. В противном случае они не сравнимы.
Упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным , а порядок - линейным порядком. Линейный порядок еще называют совершенным порядком.
Например, множество всех действительных чисел с естественным порядком , а также все его подмножества, линейно упорядочены.
Объекты самой различной природы могут быть упорядочены иерархически. Вот несколько примеров.
Пример 1. Части книги упорядочены так, что книга содержит главы, главы содержат разделы, а разделы состоят из подразделов.
Пример 2.Папки в файловой системе компьютера вложены друг в друга, образуя ветвящуюся структуру.
Пример 3.Отношение родители - дети может быть изображено в виде так называе-мого генеалогического древа, которое показывает, кто чьим предком (или отпрыском) является.
Пусть на множестве А задан частичный порядок . Элемент х называется максимальным (минимальным) элементом множества А, если из того, что х у (у х), следует равенство х = у. Иначе говоря, элемент х является максимальным (минимальным), если для любого элемента у или неверно, что х у (у х ), или выполняется х = у. Таким образом, максимальный (минимальный) элемент больше (меньше) всех отличных от него элементов, с которыми он находится в отношении .
Элемент х называется наибольшим (наименьшим), если для любого у Î А выполняется у < х (х< у).
В частично упорядоченном множестве может быть несколько минимальных и/или максимальных элементов , но наименьших и наибольших элементов не может быть больше одного. Наименьший (наибольший) элемент является одновременно и минимальным (максимальным), но обратное утверждение неверно. На рисунке слева показан частичный порядок с двумя минималь-ными и двумя максимальными элементами, а справа - частичный порядок с наименьшим и наибольшим элементами:
В конечном частично упорядоченном множестве всегда суще-ствуют минимальный и максимальный элементы.
Упорядоченное множество, у которого есть наибольший и наименьший эле-менты, называется ограниченным . На рисунке показан пример бесконечного ограниченного множества. Разумеется, изобразить бесконечное множество на конечной странице нельзя, но можно показать принцип его построения. Здесь петли около вершин не показаны для упрощения рисунка. По той же причине не показаны дуги, обеспечивающие отображение свойства транзитивности. Другими словами, на рисунке представлена диаграмма Хассе отношения порядка.
Бесконечные множества могут не иметь максимальных, или минимальных, или тех и других элементов. Например, множество натуральных чисел (1,2, 3, ...) имеет наименьший элемент 1, но не имеет максимальных. Множество всех действительных чисел с естественным порядком не имеет ни наимень-шего, ни наибольшего элемента. Однако его подмножество, состоящее из всех чисел х < 5, имеет наибольший элемент (число 5), но не имеет наи-меньшего.
Пусть R - бинарное отношение на множестве А.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка на А или порядком на А, если оно транзитивно и антисимметрично.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение порядка R на множестве А называется нестрогим, если оно рефлексивно на А, т. е. для всякого из А.
Отношение порядка R называют строгим (на А), если оно антирефлексивно на А, т. е. для любого из А. Однако из антирефлексивности транзитивного отношения R следует его антисимметричность. Поэтому можно дать следующее эквивалентное определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется строгим порядком на А, если оно транзитивно и антирефлексивно на А.
Примеры. 1. Пусть - множество всех подмножеств множества М. Отношение включения на множестве есть отношение нестрогого порядка.
2. Отношения на множестве действительных чисел являются соответственно отношением строгого и нестрогого порядка.
3. Отношение делимости во множестве натуральных чисел есть отношение нестрогого порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением предпорядка или предпорядком на А, если оно рефлексивно на и транзитивно.
Примеры. 1. Отношение делимости во множестве целых чисел не является порядком. Однако оно рефлексивно и транзитивно, значит является предпорядком.
2. Отношение логического следования является предпорядком на множестве формул логики высказываний.
Линейный порядок. Важным частным случаем порядка является линейный порядок.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отношение порядка на множестве называется отношением линейного порядка или линейным порядком на , если оно связанно на , т. е. для любых х, у из А
Отношение порядка, не являющееся линейным, обычно называют отношением частичного порядка или частичным порядком.
Примеры. 1. Отношение «меньше» на множестве действительных чисел есть отношение линейного порядка.
2. Отношение порядка, принятое в словарях русского языка, называется лексикографическим. Лексикографический порядок на множестве слов русского языка есть линейный порядок.
Свойства отношений:
1) рефлексивность;
2)симметричность;
3)транзитивность.
4)связанность.
Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: х Rх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.
Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.
Существуют отношения, не обладающие свойством рефлексивности, например, отношение перпендикулярности отрезков: ab, ba (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе). Поэтому на графе данного отношения нет ни одной петли.
Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков, «больше на 2» для натуральных чисел и др.
Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным , если для любого элемента из множества Х всегда ложно х Rх: .
Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Примером такого отношения может служить отношение «точка х симметрична точке у относительно прямой l », заданное на множестве точек плоскости. Действительно, все точки прямой l симметричны сами себе, а точки, не лежащие на прямой l, себе не симметричны.
Отношение R на множестве Х называется симметричным , если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y , следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .
Граф симметричного отношения обладает следующей особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к y , граф содержит стрелку, идущую от y к х (рис. 35).
Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.
Существуют отношения, которые не обладают свойством симметричности.
Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у , то отрезок у не может быть длиннее отрезка х . Граф этого отношения обладает особенностью: стрелка, соединяющая вершины, направлена только в одну сторону.
Отношение R называют антисимметричным , если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.
Кроме отношения «длиннее» на множестве отрезков существуют и другие антисимметричные отношения. Например, отношение «больше» для чисел (если х больше у , то у не может быть больше х ), отношение «больше на» и др.
Существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z , следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z : xRy и yRz xRz.
Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к y и от y к z , содержит стрелку, идущую от х к z.
Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b , отрезок b длиннее отрезка с , то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а= b, b=с)(а=с).
Существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b , а отрезок b перпендикулярен отрезку с , то отрезки а и с не перпендикулярны!
Существует еще одно свойство отношений, которое называется свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y , либо элемент y находится в отношении R с элементом х . С помощью символов это можно записать так: xy xRy или yRx.
Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y , либо y>x.
На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые не обладают свойством связанности. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и y , что ни число х не является делителем числа y , ни число y не является делителем числа х (числа 17 и 11 , 3 и 10 и т.д.).
Рассмотрим несколько примеров. На множестве Х={1, 2, 4, 8, 12} задано отношение «число х кратно числу y ». Построим граф данного отношения и сформулируем его свойства.
Про отношение равенства дробей говорят, оно является отношением эквивалентности.
Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {; }, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х , т.е. имеем разбиение множества на классы.
Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества - классы эквивалентности.
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве
Х
={ ;; ; ; ; } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?
Во-первых, эквивалентный - это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности {; ; }, неразличимы с точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например . И эта замена не изменит результата вычислений.
Во-вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные прямые между собой.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Рассмотрим задачу.На множестве Х ={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 ». Это отношение порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9 ). Во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 4, 7, 10 ). В третий попадут все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 5, 8 ). Действительно, полученные множества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х . Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3 », заданное на множестве Х , является отношением эквивалентности.
Возьмем еще пример: множество учащихся класса можно упорядочить по росту или возрасту. Заметим, что это отношение обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Или всем известен порядок следования букв в алфавите. Его обеспечивает отношение «следует».
Отношение R на множестве Х называется отношением строгого порядка , если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности. Например, отношение «х< y ».
Если же отношение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности, то такое оно будет являться отношением нестрогого порядка . Например, отношение «х y ».
Примерами отношения порядка могут служить: отношение «меньше» на множестве натуральных чисел, отношение «короче» на множестве отрезков. Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка . Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.
Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Например, множество Х= {2, 8, 12, 32 } можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 41), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 42). Но, являясь отношением порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество натуральных чисел по-разному. Отношение «меньше» позволяет сравнивать два любых числа из множества Х , а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Так, пара чисел 8 и 12 отношением «кратно» не связана: нельзя сказать, что 8 кратно 12 либо 12 кратно 8.
Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
Важный тип бинарных отношений - отношения порядка. Отношение строгого порядка - бинарное отношение, являющееся антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным:
обозначение - (а предшествует Ь). Примерами могут служить
отношения "больше", "меньше", "старше" и т.п. Для чисел обычное обозначение - знаки "<", ">".
Отношение нестрогого порядка - бинарное рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение. Наряду с естественными примерами нестрогих неравенств для чисел примером может служить отношение между точками плоскости или пространства "находиться ближе к началу координат". Нестрогое неравенство, для целых и действительных чисел можно также рассматривать как дизъюнкцию отношений равенства и строгого порядка.
Если в спортивном турнире не предусматривается дележа мест (т.е. каждый участник получает определенное, только ем/ присужденное место), то это пример строгого порядка; в противном случае - нестрогого.
Отношения порядка устанавливаются на множестве, когда для некоторых или всех пар его.эдементов.определяется отношение
предшествования . Задание-для множества некоторого отношения порядка называется его"упорядочением, а"само.множество в результате этого становится упорядоченным. Отношения порядка могут вводиться разными способами..Для конечного множества любая перестановка его элементов "задает некоторый строгий порядок. Бесконечное множество можно упорядочить бесконечным множеством способов. Представляют интерес только те упорядочения, которые имеют содержательный смысл.
Если для отношения порядка R на множестве .М и некоторых различных элементов выполняется хотя бы одно из отношений
aRb или bRa , то элементы а и Ь называются сравнимыми, в противном случае - несравнимыми.
Полностью (или линейно) упорядоченное множество М -
множество, на котором задано отношение порядка, причем любые два элемента множества М сравнимы; частично упорядоченное множество - то же, но допускаются пары несравнимых элементов.
Линейно упорядоченным является множество точек на прямой с отношением "правее", множества целых, рациональных, действительных чисел по отношению "больше" и т п.
Примером частично упорядоченного множества могут служить трехмерные векторы, если порядок задан так , если
Т е если предшествование выполнено по всем трем координатам, векторы (2, 8, 5) и (6, 9, 10) сравнимы, а векторы (2, 8, 5) и (12, 7, 40) не сравнимы. Этот способ упорядочения можно распространить на векторы любой размерности: вектор
предшествует йектору если
И выполнено
На множестве векторов можно рассмотреть и другие примеры упорядочения.
1) частичный порядок: 
, если
Т.е. по длине векторов; несравнимыми являются векторы одинаковой длины.
2) линейный порядок: 
, если a
Последний пример представляет понятие алфавитного порядка.
Алфавит - это кортеж попарно различных символов, называемых буквами алфавита. Примером служит алфавит любого европейского языка, а также алфавит из 10 арабских цифр В компьютере клавиатура и некоторые вспомогательные средства определяют алфавит допустимых символов.
Слово в алфавите А - кортеж из символов алфавита А. Слово записывается символами алфавита подряд, слева направо, без пробелов Натуральное число является словом в цифровом алфавите Формула не всегда является словом из-за нелинейного расположения символов наличие надстрочных (показатели степени) и подстрочных (индексы переменных, основания логарифмов) символов, дробная черта, знаки радикалов и др.; однако путем некоторых соглашений она может быть приведена к записи в строку, что и применяется, например, в компьютерном программировании (так, знак возведения в степень записывается как 2 знака умножения подряд: 5**3 означает третью степень числа 5.
Лексико-графическое (алфавитное) упорядочение - для различных слов в алфавите с упорядоченными
символами устанавливается упорядочение: , если
возможно представление 
, при котором либо
(подслово может быть пустым), либо - пустое подслово
В этом определении - префикс (начальное подслово), одинаковый у обоих слов - либо первые по счету слева различные
символы, либо - последний символ в слове- хвостовые
подслова.
Таким образом, алфавитное упорядочение слов определяется первым слева различающим их символом (например, слово КОНУС предшествует слову КОСИНУС, поскольку они впервые различаются в третьей букве, и Н предшествует С в русском алфавите). Считается также, что символ пробела предшествует любому символу алфавита - для случая, когда одно из слов является префиксом другого (например, КОН и КОНУС)
Упражнение. Проверьте, что алфавитное упорядочение натуральных чисел, имеющих одинаковое число разрядов в десятичной записи, совпадает с упорядочением их по величине.
Пусть А - частично упорядоченное множество. Элемент называется максимальным в А, если не существует элемента для которого а < b. Элемент а называется наибольшим в А, если для всякого отличного от а элемента выполнено Ь<а-
Симметричным образом определяются минимальный и наименьший элементы. Понятия наибольшего и максимального (соответственно, наименьшего и минимального) элементов различны -см. пример на рис.14. Множество на рис. 14,а имеет наибольший элемент р, он же является максимальным, минимальных элементов два: s и t, наименьшего нет. На рис.14,б, напротив, множество, имеющее два максимальных элемента / и j , наибольшего нет, минимальный, он же наименьший - один: т.
Вообще, если у множества есть наибольший (соответственно, наименьший) элемент, то только один (может не быть ни одного).
Максимальных и минимальных элементов может быть несколько (может не быть совсем - в бесконечном множестве; в конечном случае -обязательно есть).
Разберем еще два примера. - отношение на множестве N :
"Y делит X", или "X является делителем числа Y" (например,
) является рефлексивным и транзитивным. Рассмотрим его на конечном множестве делителей числа 30.
Отношение является отношением частичного порядка (нестрогого)
и изображается следующей матрицей порядка 8, содержащей 31 знак
Соответствующая схема с 8 вершинами должна содержать 31 связку. . Однако она будет более удобна для обозрения, если исключить 8
связок-петель, изображающих рефлексивность отношения (диагональные элементы матрицы) и транзитивные связки, т.е. связки
Если есть промежуточное число Z такое, что
(например, связку , поскольку ). Тогда в схеме
останется 12 связок (рис.15); недостающие звенья подразумеваются "по транзитивности". Число 1 является наименьшим, а число 30
наибольшим элементами в . Если исключить из число 30 и
рассмотреть тот же частичный порядок на множестве , то
наибольшего элемента нет, но имеются 3 максимальных элемента: 6, 10, 15
Теперь построим такую же схему для отношения на булеане
(множестве всех подмножеств) трехэлементного множества
Содержит 8 элементов:
Проверьте, что если сопоставить элементам а,Ь,с, соответственно числа 2, 3, 5, а операции объединения множеств - умножение соответствующих чисел (т.е., например, подмножеству отвечает
произведение 2 5 = 10), то матрица отношения будет точно такой
же, как для отношения ; схемы этих двух отношений с описанными
сокращениями петель и транзитивных связок с точностью до обозначений совпадают (см. рис.16). Наименьшим элементом является
А наибольшим -
Бинарные отношения R на множестве А и S на множестве В называются изоморфными, если между А и В можно установить взаимно однозначное соответствие Г, при котором, если (т.е.
элементы находятся в отношении R), то (образы
этих элементов находятся в отношении S).
Так, частично упорядоченные множества и изоморфны.
Рассмотренный пример допускает обобщение.
Отношение на булеане есть частичный порядок. Если
Т.е. множество Е содержит п элементов , то каждому
подмножеству соответствует п -мерный вектор с
компонентами , где - характеристическая функция
множества Л/ . Совокупность всех таких векторов можно рассматривать как множество точек п -мерного арифметического пространства с координатами 0 или 1, или, по-другому, как вершины п -мерного
единичного куба, обозначаемого , т.е. куба с ребрами единичной длины. Для п = 1, 2, 3 указанные точки представляют собой соответственно концы отрезка, вершины квадрата и куба - отсюда общее название. Для /7=4 графическое изображение этого отношения - на рис.17. Около каждой вершины 4-мерного куба указано соответствующее
подмножество 4-элементного множества и четырехмерный
вектор, представляющий характеристическую функцию этого подмножества. Соединены между собой вершины, отвечающие подмножествам, которые различаются присутствием ровно одного элемента.
На рис.17 четырехмерный куб изображен так, что на одном
уровне расположены попарно не сравнимые элементы, содержащие одинаковое число единиц в записи (от 0 до 4), или, по-другому, одинаковое число элементов в представляемых подмножествах.
На рис.18а,б - другие наглядные представления 4-мерного куба;
на рис.18а ось первой переменной ОХ направлена вверх (намеренное отклонение от вертикали, чтобы не сливались различные ребра куба):
при этом 3-мерный подкуб, соответствующий X = 0 расположен ниже, а для X = 1 - выше. На рис. 186 та же ось ОХ направлена изнутри куба наружу внутренний подкуб соответствует X = О, а внешний - X = 1.
В 
файле материалов приведено изображение 5-мерного единичного куба (стр.134).
2) отношение на множестве Х называется отношением строго порядка , если оно антисимметрично и транзитивно. Отношение называется антисимметричным , если из того, что а находится в отношении с в не следует, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а) R – находиться в отношении. Отношение называется транзитивным , если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. Например: отношение «больше, меньше». Множество, на котором задано отношение строгого порядка, называется упорядоченным множеством.
3) отношение на множестве Х называется отношением не строгого порядка , если оно рефлексивно, ассиметрично и транзитивно. Например: отношение ≥ ≤. Если отношение порядка обладает свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка . Отношение называется связанным на множестве Х, если для любых элементов х и у выполняется условие: из того, что х ≠ у следует, что х R у или у R х. Если на множестве задано отношение линейного порядка, то оно линейно упорядочивает данное множество.
5. Множество действительных чисел. Его свойства . К расширению множества рациональных чисел привела необходимость измерения длин отрезков, площадей и т.д. В основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном (предметом или явлением), величина которого имеет численное значение, равное 1, но не всегда единичный отрезок вкладывается в измеряемом объекте. Поэтому при измерении делают 2 допущения, которые в математике определились как аксиомы: 1) Единичный эталон можно разделить на любое число равных между собой долей или частей. 2) Выбранным эталоном можно измерять любой как угодно большой объект. Для отрезков эти аксиомы сформулировал Архимед: Как бы ни был мал отрезок АВ и как бы ни был велик отрезок СД, существует такое натуральное число N, что N*AB>CD, если в измеряемом отрезке CD уложилось равное число отрезков АВ, то длина отрезка CD выражается натуральным числом. Если в измеряемом отрезке CD отрезок АВ укладывается неравное число раз, то АВ разбиваем на 10 одинаковых отрезков, называемых десятой долей эталонов. При необходимости десятая доля может разбиваться на 10 равных частей и т.д. Если в отрезок CD укладывается равное число 10, 100 и т.д. долей отрезков АВ, то длина отрезка CD выражается рациональным числом. Однако не всегда длина отрезка может выражаться натуральным или рациональным числом. Существуют несоизмеримые отрезки, т.е. отрезки, длина которых не выражается рациональным числом. (теоремы смотри вопрос 32)
Числа, которые могут быть представлены в виде бесконечных десятичных непериодических дробей называется иррациональными. Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных чисел ().
Свойства множества действительных чисел . 1). Множество точек числовой оси равномощно множеству действительных чисел.
0 М 1 Возьмем на отрезке от 0 до 1 любую точку М,
Д проведем полуокружность с центром в
Середине этого отрезка и радиусом
К О С равным половине его. Проведем перпендикуляр из М до пересечения с полукругом. Получим Д. Эта точка единственная, так как полукруг и прямая пересекаются только в одной точке. Из середины данного отрезка через Д проведем прямую до пересечения с числовой осью. Получим К, которая определяется единственным образом, так как де прямые пересекаются только в одной точке. Выбирая другую произвольную точку на заданном отрезке и повторяя весь процесс получим, что любой точке отрезка от0 до 1 соответствует единственная точка числовой прямой. Рассуждая в обратном порядке можно показать, что любой точке числовой прямой также соответствует единственная точка от 0 до 1. Если произвольная точка Е принадлежит числовой прямой, то через точки М и Е можно провести только одну прямую, которая пересечет полуокружность. Из полуокружности можно опустить перпендикуляр на заданный отрезок. Таким образом, между точками отрезка от 0 до 1 и точками числовой прямой устанавливается взаимно одинаковое отображение, т.е. они равномощны.
2) множество действительных чисел не является счетным, т.е. оно не равно множеству натуральных чисел.
3). Множество действительных чисел является непрерывным множеством. Непрерывность множества действительных чисел состоит в том, что между любыми двумя действительными числами находится бесконечное множество только действительных чисел
6. Разбиение множества на классы. Примеры классификации. Отношение эквивалентности, его свойства. Взаимосвязь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Рассмотрим на примере. Пусть задано множество М (множество выпуклых многоугольников), образуем все подмножества данного множества: А 1 – множество треугольников; А2 – множество четырехугольников; А3 – множество пятиугольников; Ак – множество к-угольников. Множество М считается разбитым на классы, если выполняются следующие условия:
- каждое подмножество А не пусто
- пересечения любых двух подмножеств является пустым множеством
- объединение всех подмножеств есть данное множество М
Разбиение множества на классы называется классификацией .
Отношение на множестве Х называется эквивалентным , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение называется рефлексивным , если любой элемент из множества Х находится в отношении сам с собой а ∈ Х, а R а (R – находиться в отношении). Отношение называется симметричным , если для любых двух элементов множества Х (а и в) из того, что а находится в отношении с в, будет следовать, что в находится в отношении с а (а, в ∈ Х, а R в → в R а). Отношение называется транзитивным , если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с → что а R с, а, в, с ∈ Х. На графе отношения эквивалентности есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы : Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Например. Пусть задано отношение – жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а) каждый класс не пуст, т.к. в каждой квартире хотя бы 1 человек, но прописан, б) классы не пересекаются (1 человек не прописан в двух разных квартирах), в) объединение всех классов, т.е. жильцов каждой квартиры, и составляет множество жильцов дома.
18 . Теоретико-множественный подход к построению теории целых неотрицательных чисел. Отношения равенства, больше (меньше). Два множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е., если каждому элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В и наоборот. Мощность или кардинальное число – это такое свойство, которое присуще любому множеству В, равномощному множеству А и не присуще ни какому другому множеству не равномощному множеству А. А~В n (А)=а – это мощность. Отношение равномощности является отношением эквивалентности, т.е. для него выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение равномощности разбивает множество всех множеств на классы эквивалентности. Для определения понятия натурального числа и нуля рассмотрим разбиение всех конечных множеств.
Пусть М это множество всех конечных множеств. М=К 0 Ка Кв, где Ко – это класс пустых множеств, Ка – это множество, содержащее равномощные множества а 1, а 2 , а 3 и т.д., Кв – это множество. Содержащее равномощные множества в 1 , в 2 , в 3 и т.д. Множество М может содержать и другие подмножества К различной природы, которые состоят из равномощных множеств. У каждого класса эквивалентности К есть общее то, что они состоят из одинакового количества элементов, других общих свойств нет. Целое неотрицательное число с теоретико-множественной точки зрения, есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Натуральное число есть общее свойство класса не пустых конечных равномощных множеств. Каждому классу приписывается кардинальное число (мощность). Классу пустое множество приписывается координальное число 0. Классу состоящему из множеств, имеющих 1 элемент приписывается число1. Классу, состоящему из множеств, имеющих 2 элемента приписывается число 2. (n(К 0)=0, n(К 1)=1, n(К 2)=2, n(Ка)=а).
Отношение равенства . Целые неотрицательные числа а и в называются равными, если множества А и В, численность которых они выражают, равномощны (А; n(А)=а, n(В)=в, А ~ В n(А)=n(В) а=в).
Теорема : отношение равенства во множестве целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности. Доказательство . Докажем, что отношение равенства обладает свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности.
Т.к. свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности выполняются, то отношение равенства является отношением эквивалентности.
Отношение меньше
. Целое неотрицательное число а<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Теорема: отношение меньше во множестве целых неотрицательных чисел является отношением строго порядка. Доказательство: Докажем, что отношение меньше обладает свойствами анти симметричности и транзитивности. С 2 С 1 С 2 ~В 1 С 2 ~А n(А)=n(С 2) n(С 2) А В С 1 С
В 1 С 2
19
. Сложение и вычитание в количественной теории целых неотрицательных чисел. Их свойства
. Суммой
двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью объединения двух непересекающихся множеств А и В, мощности которых соответственно равны а и в. а+в=с, n(С)=n(АUВ), n(АUВ)=n(А)+n(В). Свойства сложения
. 1. Сложение во множестве целых неотрицательных чисел всегда существует и определяется единственным образом. Докажем, что сумма всегда существует. Рассмотрим А и В, такие, что их пересечение пустое множество и число элементов А есть а, а мощность В есть – в. найдем объединение А и В. Так как объединение двух непересекающихся множеств всегда существует, а значит существует и сумма, а из определения суммы следует, что сложение всегда существует. Докажем, что сумма определяется единственным образом. Существует С 1 и С 2 – неотрицательные целые числа. С 1 =а+в и С 2 =а+в. Сумма чисел а и в не зависит от того, какие множества А и В мы выбрали из класса равномощных множеств, а следовательно и объединение А и В, взятых из класса равномощных множеств не зависит от выбора множеств А и В, т.к мощности в каждом классе одинаковы, то С 1 =С 2 . 2. Каммутотивность сложения. Для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется свойство а+в=в+а. Из теории множеств знаем, что для АUВ=ВUА. Если равны множества, равны их численные значения. n(АUВ)=n(ВUА). Из теории множеств знаем, что мощность объединения равна сумме мощностей. N(А)+n(В)=n(В)+n(А). 3. Свойство ассоциативности. Для любых чисел а, в, с выполняется свойство: а+(в+с)=(а+в)+с. Из теории множеств известно, что для объединения множеств выполняется свойство ассоциативности: АU(ВUС)=(АUВ)UС, если равны множества, то равны их численные значения, n(АU(ВUС))=n((АUВ)UС). Из теории множеств известно, что мощность объединения равна сумме мощностей этих множеств, n(А)+n(ВUС)=n(АUВ)+n(С) n(А)+(n(В)+n(С))=(n(А)+n(В))+n(С) а+(в+с)=(а+в)+с. Разностью
целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью дополнения множества В до множества А, таких, что В принадлежит А, n(А)=а, n(В)=в. Свойства разности
. 1. Для того чтобы разность целых неотрицательных чисел существовала, необходимо и достаточно, чтобы а было больше или равно в. Докажем
: 1) достаточное условие существования разности. Дано: а - в = с, доказать: а в. По определению разности следует, что существует дополнение множества В до множества А, и это дополнение имеет мощность, которую можно найти из равенства, известного из теории множеств. n () = n(А)-n(В). Из того, что В является подмножеством А следует, что число элементов в В меньше числа элементов А. n (В) 2). Необходимое условие. Дано а в. доказать существование разности (а-в). Если а>в, по определению отношения «меньше» существует множество А 1 , такое что А 1 входит в А и А 1 ~В. Составим разность А и А 1. Эта разность всегда существует (А- А 1 =С) , а следовательно существует С, которое является этой разностью. Из этих условий следует, что С является дополнением А 1 до А. С = 1А Мощность С есть мощность дополнения А 1 до А. n (С)=n( 1А)=n(А)-n(А 1) , так как А 1 ~ В, то n(А 1)=n(В), следовательно n(С)=n(А)-n(В), следовательно с=а-в. 2. Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом. 3. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности. 4. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Из теории множеств известно А\(ВUС)=(А\В)\С, причем В Ì А; С Ì А; ВUСÌА. n (А\(ВUС))=n((А\В)\С) n(А)-n(ВUС)=n(А\В)-n(С) n(А)-(n(В)+n(С))=(n(А)-n(В))-n(С) а-(в+с)=(а-в)-с. 5. Вычитание числа из разности (а-в)-с=(а-с)-в. Доказательство основывается на свойстве разности множеств (А\В)\С=(А\С)\В. 6. Вычитание числа из суммы (а+в)-с=(а-с)+в. Доказательство опирается на свойство множеств (АUВ)\С=(А\С) UВ. Четная не четная На практике часто встречаются функции, которые не являются четными и не четными. 4. функции могут быть периодичными. Функция называется периодичной, если существует такое число Т, что выполняется условие f(x+Т)=f(x). К периодичным относятся все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс). 5. функции могут иметь особые точки. Это точки пересечения с осями координат и точки экстремумов, т.е. точки минимума и максимума. Точка х 0 называется точкой минимума функции, если для всех Х из окрестности х0 выполняется условия f (x) > f (x0). Точка х0 называется точкой максимума функции, если для всех х из окрестностях х0 f(x)< f (x0). 6. функции могут иметь промежутки знаков постоянства, т.е. это те подмножества, области определения, элементы которых обращают функцию либо только в положительную, либо только в отрицательную. 7. функция может иметь точки разрыва, т.е. те значения переменной х, в которых у не существует (функции обратной пропорциональности). у = ,
если х = 0 Поиск на сайте: Отключите adBlock!
7. Понятие кортежа упорядоченной пары. Декартово произведение множеств и его свойства. Число элементов в декртовом произведении множеств. Для введения понятия декартово произведение множеств рассмотрим понятие кортежа
. Это понятие, как и понятие множество, является основным неопределенным понятием. Для кортежа важен порядок следования элементов. Элементы в кортеже могут повторяться. Число элементов в заданном кортеже называется его длиной. Кортеж длины 2 называется упорядоченной парой. Картеж обозначается () или < >. × - обозначение декартового произведения множеств. (а,в,а); (а,в,с) ≠ (в,а,с); (а,е,с)=(а,е,с).
Декартовым произведением множеств
А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первая компонента является элементом первого множества, а вторая компонента элементом второго множества. А={а,в,с} В={1,2} А×В={(а,1),(а,2), (в,1),(в,2),(с,1),(с,2)}
Свойство декартова произведения множеств (ДПМ). ДПМ не обладает свойством коммутативности и ассоциативности: А×В≠В×А. Выполняются свойства дистрибутивности ДПМ:1) относительно объединения множеств А×(В⋃С)=(А×В)⋃(А×С); 2) относительно пересечения множеств А×(В∩С)=(А×В)∩(А×С). Чтобы найти число элементов в ДП в двух и более множеств нужно знать число элементов в каждом множестве. Если число элементов равно n. Если n(A)=n, а n(B)=m, то n(A×B)=n*m. Пусть А={а1,а2,а3,…аn} В={в1,в2,в3,…вm}. Составим ДПМ А и В:
(а1,в1) (а1,в2) (а1,в3) …(а1, вm)
(а2,в1) (а2,в2) (а2,в3) …(а2, вm)
(а3,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm)
___________________________
(аn, в1) (аn,в2) (аn,в3) …(аn,вm)
В каждой строчке эм-пар, таких строчек эн, значит всего перечислено эм на эн пар, следовательно число элементов в ДПМ А и В равно произведению числа элементов во множестве А на число элементов во множестве В.
8. Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствия. Виды соответствий. Соответствием эф между элементами множеств Х и У называют тройка множеств (Х;У; G f (джи от эф), джи от эф это подмножество ДП (декартового произведения). Множество Х называется областью отправления, множество У называется областью прибытия джи от эф – называется графиком данного соответствия. Областью определения соответствия эф называется множество тех элементов первого множества (т.е. области отправления), которым соответствуют элементы второго множества (т.е. области прибытия). Множеством значения соответствия эф называется множество элементов области прибытия, которым поставлены в соответствие некоторые элементы области отправления. Способы заданиясоответствий
: перечисление его элементов, с помощью графика, с помощью графа, при помощи таблицы, словесно, алгебраически, т.е. уравнением, неравенством.
Виды соответствий. Соответствия называются всюдуопределенным
, если область отправления совпадает с областью определения. На графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка. Соответствие называется сюръективным
, если его множество значений совпадает с областью прибытия. На графе такого соответствия к каждому элементу 2-ого множества подходит хотя бы 1 стрелка. Соответствие называется инъективным
, если никаким разным элементам 1-ого множества не соответствует один и тот же элемент 2-го множества. На графе такого соответствия ни к какому элементу 2-го множества не подходит более 1 стрелки. Соответствие называется функциональным
, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие называется функцией
. Среди всех функциональных соответствий выделяют всюдуопределительные соответствия, которые называют отображением
. Соответствие называется взаимнооднозначным
, если выполняются условия: 1) любым двум различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества У, 2) любому элементу множество У соответствует хотя бы один элемент множества Х. Два соответствия между множествами Х и У называются противоположными
, если их графики взаимно дополняют декартово произведение Х на У. Соответствие называется обратным
к данному соответствию, если данное соответствие выполняется в том и только том случае, когда выполняется обратное. Если данное соответствие есть подмножество декартова произведения множеств Х и У, то обратное соответствие – это подмножество декартового произведения множеств Х и У. Чтобы получить соответствие обратное данному. На его графе необходимо поменять направление стрелок.
9.Функциональное соответствие. Свойства числовых функций. Соответствие называется функциональным
, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие заданное на числовом множес тве называется числовой называется функцией
.
Свойства числовых функций.
1. каждая функция имеет область определения и множество значений.
2. функция может быть возрастающей или убывающей. Функция называется возрастающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 х1 > х2 следует f (x1) > f (x2). Функция называется убывающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, из того, что х1 > х2 следует f (x1) < f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
2015-2020 сайт - Контакты - Последнее добавление
очень нужно
