Изоморфизм колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

1. Композиция гомоморфизмов колец – гомоморфизм колец.

Пусть , , – кольца, , – гомоморфизмы колец, – композиция функций. Тогда для " a , b Î K 1 выполняются равенства:

Итак, – гомоморфизм колец.

2. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то – подкольцо K 2 .

Im f Í K 2 и . (K 1 , +) и (K 2 , ) – группы, f – гомоморфизм данных аддитивных групп. Поэтому, по свойству 2 гомоморфизмов групп . Для выполняется , поскольку f – гомоморфизм колец. Следовательно, Im f – подкольцо K 2 .

3. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то и для .

Так как f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм соответствующих аддитивных групп колец (K 1 , +) и (K 2 , ), то по свойству 2 гомоморфизмов групп имеем и для . Непосредственное доказательство:

по определению гомоморфизма, нейтрального и противоположного элемента аддитивной группы.

4. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то и для в Im f , где – единица K 1 и – единица Im f .

Согласно свойству 2 . Если – единица K 1 , то для , поскольку f – гомоморфизм, выполняется

То есть – единица . Для выполняются равенства и f (a –1) · f (a ), следовательно, в Im f .

5. Если f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм колец, то Ker f – двусторонний идеал K 1 .

Ker f Í K 1 и Ker f ¹ Æ, так как Ker f по свойству 3. Для " a , b Î Ker f . Далее, для " a Î Ker f , " k Î K 1 выполняется , . Итак,

Пример 4.6.4. Рассмотрим функцию f : Z /28Z ® Z /28Z , где . f – эндоморфизм кольца (Z /28Z , Å, Ä), так как для любых , Î Z /28Z

Можно заметить, что для , поскольку , а также, что Im f и Ker f являются главными идеалами кольца Z /28Z , то есть Im f , где (k , 28) = 28/7 = 4, и Ker f , где (l , 28) = 28/4 = 7. Таким образом,

Im f – подкольцо Z /28Z , но , поскольку Im f .·

6. Гомоморфизм колец f : K 1 ® K 2 является мономорфизмом тогда и только тогда, когда .

Доказательство вытекает из свойства 4 гомоморфизмов групп, поскольку f : K 1 ® K 2 – гомоморфизм соответствующих групп (K 1 , +) и (K 2 , ).

Из свойств 5 и 6 следует, что любой гомоморфизм произвольных полей является либо нулевым, либо инъективным (так как поле не имеет нетривиальных идеалов). Гомоморфизмы позволяют произвести отождествления изоморфных полей, установить между полями отношения частичного порядка – по включению.

Теорема 4.6.1 (первая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть (K , +, ×) – кольцо, – двусторонний идеал. Тогда существует эпиморфизм колец для которого Ker f = I .

Построим функцию , где . f – сюръекция: , , существует .

для согласно построению факторкольца (K /I , Å, Ä). Поэтому f – гомо-морфизм колец.

Для Ker f . Пусть но если , так как различные классы вычетов по модулю двустороннего идеала не пересекаются. Получается противоречие. Значит, и . Итак,

Определение 4.6.4. Гомоморфизм колец где при ко-тором называется естественным (каноническим ) гомомор-физмом.

Теорема 4.6.2 (вторая теорема о гомоморфизмах колец). Пусть– гомоморфизм кольца в кольцо . Тогда

(свойство 2 гомоморфизмов колец), (свойство 5 гомоморфизмов колец). Построим функцию f : , где . f – сюръективная функция, так как для .

f не зависит от выбора представителя класса вычетов : пусть a 1 = a + i , тогда получаем, что

Пусть , тогда . Так как иначе , что приводит к противоречию тому, что . Значит, f – инъекция. Итак, f : – биективная функция.

для . Значит, f – гомоморфизм колец. Таким образом, f – изоморфизм колец и .

Поскольку для произвольного кольца , из свойства 6 гомоморфизмов колец и теоремы 4.6.2 следует, что любой инъективный эндоморфизм кольца является автоморфизмом. В частности, любой ненулевой эндоморфизм поля является его автоморфизмом.

Пример 4.6.5. Пусть (P , +, ×) – поле, (P [x ], +, ×) – кольцо полиномов над полем P . – фиксированный элемент поля. Рассмотрим функцию , где . Тогда для справедливы равенства:

следовательно, y – гомоморфизм колец.

по следствию 1 из теоремы Безу 4.4.4. y – сюръекция, так как для и . Значит, Таким образом, по теореме 4.6.2 .·

Развитием следствия 2 из теоремы 4.5.2 является следующая теорема.

Теорема 4.6.3 (теорема существования корня). Для всякого неприводимого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее корень этого полинома и изоморфное полю P [x ]/< f (x ) >.

Факторкольцо (P [x ]/< f (x ) >, Å, Ä) является полем согласно следствию 2 из теоремы 4.5.2. Подполе в P [x ]/< f (x ) > изоморфно полю P , очевидно, изоморфизм задает функция y : P ® P [x ]/< f (x ) >, где y (a ) = , являющаяся вложением P в P [x ]/< f (x ) >, как уже говорилось в примере 4.6.3. Пусть f (x ) = a n x n +…+a 1 x +a 0 , , тогда в поле P [x ]/< f (x ) > . Но поскольку = , то, является корнем полинома . Рассмотрим теперь множество S , удовлетворяющее условиям: S ÇP = Æ, | S | = | (P [x ]/< f (x ) >)\ | ¹ 0 при n > 1. Пусть F = S ÈP , при n = 1 F = P . Зададим на F структуру поля, продолжив мономорфизм y до изоморфизма F на P [x ]/< f (x ) >. Если b , c ÎF , то полагаем

b +c = y –1 (y (b )Åy (c )), b ×c = y –1 (y (b )Äy (c )).

При ограничениях на P эти операции совпадают соответственно с заданными операциями сложения и умножения в P , и ясно, что P – подполе F . Положим a = , тогда y (f (a )) = y (a n a n +…+a 1 a +a 0) = = = и, поскольку y – изоморфизм F на P [x ]/< f (x ) >, f (a ) = 0 в поле (F , +, ×). Значит, построенное поле является расширением поля P , содержащим корень a полинома f (x ).

Следствие 1. Для любого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее корень этого полинома.

По теореме 4.4.1 полином f (x ) однозначно разлагается на множители: f (x ) = , где , – неприводимые над P полиномы со старшими коэффициентами, равными 1, – старший коэффициент f (x ). Согласно теореме 4.6.3 для каждого существует расширение поля P , содержащее корень данного полинома, являющийся и корнем полинома f (x ) в соответствии со следствием 1 из теоремы Безу 4.4.4 и свойством 3 делимости полиномов.

Замечание. Тот факт, что расширение поля P содержит корень a полинома f (x )ÎP [x ], вовсе не означает, что содержит все корни этого полинома.

Пример 4.6.6. Полином f (x ) = x 4 –2 неприводим над Q по по признаку Эйзенштейна: p = 2. В поле C данный полином имеет четыре простых корня: , , и . Но поле содержит только первый и третий из этих корней, но не все четыре.·

Следствие 2. Для любого полинома f (x )ÎP [x ] степени n ÎN существует расширение поля P , содержащее все корни f (x ).

Доказательство проведем индукцией по степени полинома f (x ). Если deg f = 1, то f (x ) = ax +b , a ¹ 0, и – a –1 b ÎP – единственный корень f (x ), значит, P – искомое поле. Предположим, что утверждение верно для всех многочленов степеней, меньших фиксированного n ÎN >1 , с коэффициентами из произвольных полей.

Пусть теперь deg f = n > 1. Тогда по следствию 1 из теоремы 4.6.3 существует расширение P 1 поля P , содержащее корень a полинома f (x ). Согласно следствию 1 из теоремы 4.4.4 в P 1 [x ] f (x ) = (x –a )g (x ), где g (x )ÎP 1 [x ] и deg g = = n –1. По предположению индукции существует расширение P 2 поля P 1 , содержащее все корни g (x ). Так как P 2 является расширением поля P и содержит все корни полинома f (x ) (оно содержит a и все корни полинома g (x )), то P 2 и есть искомое расширение.

Теорема 4.6.4. Пусть – эпиморфизм колец, Ker f = I . Тогда существует взаимно однозначное и сохраняющее включения соответствие между всеми идеалами кольца и идеалами U кольца (K , +, ×), содержащими I , такое что , .

, Ker f = I . Пусть – произвольный идеал кольца , соответственно левый, правый, двусторонний. Рассмотрим прообраз идеала при отображении f – . Тогда для , выполняются следующие свойства:

1) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;

2) , так как , поскольку , – идеал кольца , значит, , а ;

3) , если – левый идеал, , если – правый идеал, , если – двусторонний идеал, так как соответственно , , , поскольку и соответственно , , , а , .

Таким образом, является соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K , +, ×) согласно определению. Поскольку , то . Если – идеалы кольца , причем , то для , значит, для , такое что , поскольку , , следовательно, . Итак, существует функция, заданная на множестве всех идеалов кольца , которая каждому левому, правому, двустороннему идеалу ставит в соответствие его прообраз при отображении f , являющийся соответственно левым, правым, двусторонним идеалом кольца (K , +, ×), содержащим I , и данная функция сохраняет включения идеалов. , то для K и соответственно левыми, правыми, двусторонними идеалами кольца .

Согласно теореме 4.6.2 существует изоморфизм колец , . Применяя теорему 4.6.3, получаем, что f задает требуемое взаимно однозначное соответствие между идеалами кольца и кольца , такое что , .

Определение 34. Непустое подмножество H кольца K называется подкольцом кольца K , если H является кольцом относительно тех же операций, что и кольцо K .

Теорема 9 (критерий подкольца).

Пусть K – кольцо, H - непустое подмножество K. H является подкольцом кольца K тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) для любых h 1 , h 2 ∈H (h 1 -h 2 )∈H ;

2) для любых h 1 , h 2 ∈H h 1 ⋅h 2 ∈H .

Доказательство. Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца K. Тогда Н – кольцо относительно тех же операций, что и K. Значит, Н замкнуто относительно операций сложения и умножения, то есть условие 2) выполняется. Кроме того, для любых h 1 , h 2 ∈H ∃ -h 2 ∈H и h 1 +(-h 2 )=h 1 -h 2 ∈H .

Достаточность. Пусть выполняются условия 1) и 2). Докажем, что Н - подкольцо кольца K. В силу определения 34, достаточно проверить, что Н - кольцо.

Так как выполняется условие 1), то, по теореме 7", Н является подгруппой аддитивной группы K . Кроме того, так как операция сложения коммутативна на K , то в Н операция «+» также коммутативна. Следовательно, Н – аддитивная абелева группа.

Далее, в K выполняются дистрибутивные законы и Н ⊆K . Значит, в Н также выполняются дистрибутивные законы. Тем самым мы показали, что Н – кольцо, а, следовательно, Н – подкольцо кольца K.

Теорема доказана.

Определение 35. Отображение φ кольца K в кольцо K называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом , если выполняются 2 условия:

1) для любых a , b ∈K φ (a+b )=φ (a )+φ (b );

2) для любых a , b ∈K φ (a⋅b )=φ (a )⋅φ (b ).

Замечание 10. Определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма, эндоморфизма, автоморфизма колец формулируется аналогично соответствующим определениям для групп.

Замечание 11. Отношение изоморфизма на множестве всех колец является отношением эквивалентности, которое разбивает данное множество на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. В один класс войдут те и только те кольца, которые изоморфны между собой. Изоморфные кольца обладают одними и теми же свойствами. Поэтому с алгебраической точки зрения они неразличимы.

8. Поле.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Элементы теории множеств Понятие множества. Подмножество. Операции над множествами

В школьном курсе математики рассматривались операции над числами При этом были установлен ряд свойств этих операций.. На ряду с операциями над числами в школьном курсе также рассматривались и.. Основной целью курса алгебры является изучение алгебр и алгебраических систем Курс алгебры находит обширное..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Диаграммы Эйлера-Венна
Как в повседневной жизни, так и научных исследованиях часто приходится рассматривать совокупности вещей, системы объектов и т.д. При этом во всех случаях подразумевают, что рассматривается некоторо

Свойства операций над множествами
Согласно определению 1, множества А и В равны в том и только том случае, когда А⊆В и В⊆А. Теорема 1. Пусть

Прямое (декартово) произведение множеств
Определение 11. Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество, обозначаемое AB (читается

Бинарные отношения между множествами
Определение 14. Бинарным отношением называется всякое множество упорядоченных пар. В математике при рассмотрении связи между объектами используют термин «отношение». Примерам

Фактормножество
Определение 27. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно на множестве А. Опр

Упорядоченное множество
Определение 30. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением порядка, если оно антисимметрично и транзитивно на А. Определение 31. Би

Функция как бинарное отношение
Определение 41. Бинарное отношение f между множествами A и B называется функциональным отношением, если из (a,b)

Теорема об ассоциативности произведения функций
Определение 50. Пусть f: XY, g: YZ - функции. Произведением

Обратимое отображение
Определение 52. Отображение называется тождественным (или единичным), если

Критерий обратимости функции
Теорема 5. Пусть - функция. Функция f обратима f - биек

Метод математической индукции
На любое натуральное число можно смотреть с двух точек зрения. Например, 3-три (количество), 3-третий (порядок). В курсе алгебры изучают порядковую теорию натуральных чисел. На множестве ℕ вв

Свойства бинарных операций
Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на непустом множестве М называется закон или правило, по которому любым двум элементам множества М

Полугруппа с сокращением
Определение 10. Непустое множество М с заданной на нем бинарной алгебраической операцией «∗» называется группоидом. Обозначается . За

Простейшие свойства групп
Определение 14. Непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «∗» называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Подгруппа. Критерий подгруппы
Определение 20. Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой группы G, если Н является группой относительно той же операции, что и группа G, и об

Гомоморфизмы и изоморфизмы групп
Теорема 8. Пусть {Hi | i∈I} – некоторая совокупность подгрупп группы G. Тогда A=я

Простейшие свойства колец
Определение 27. Непустое множество K с определенными на нем бинарными алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы (ак

Простейшие свойства полей
Определение 36. Множество Р, содержащее не менее двух элементов, замкнутое относительно операций «+» и «⋅», называется полем, если выполняются условия: 1) Р

Изоморфизм полей
Определение 37. Непустое подмножество Н поля Р, содержащее не менее двух элементов, называется подполем поля Р, если Н является полем относительно т

Поля комплексных чисел
В поле ℝ уравнение вида x2+1=0 не имеет решений. Поэтому возникает необходимость построить поле, которое было бы рас

Комплексного числа
Пусть z=(a, b)∈ℂ, причем (x, 0)=x для любого x∈ℝ. Получим для комплексного числа z=(a, b) другую форму

Комплексного числа
Пусть z=a+bi - комплексное число, a, b∈ℝ. Изобразим число z точкой плоскости М(a, b).

В тригонометрической форме
Теорема 4. При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Доказательство. Пусть z1

Формула Муавра
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно производить в алгебраической форме. Однако, возведение в степень и извлечение корня степени n≥3

Формула Муавра
Определение 11. Пусть n∈ℕ. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число z1 такое, что z1

Первообразные корни
По теореме 7, корень n-ой степени из единицы имеет ровно n значений. Так как 1=1⋅(cos 0+isin 0), то,

Кольцо многочленов от одной переменной
Из школьного курса математики и из курса математического анализа известно, что многочлен есть целая рациональная функция вида f(x)=a0+a1x+a2

Свойства степени многочлена
Определение 19. Пусть K - ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, (

Над областью целостности
Теорема 13. Если K – область целостности, то K[х] - область целостности. Доказательство. Пусть K – область целостности. Покажем, что

Матрица ступенчатого вида
Определение 10. Матрицей размера m×n над полем Р называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов, следующего вида:

Метод последовательного исключения неизвестных
(метод Гаусса). Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных, или инач

И их основные свойства
1. Сложение матриц. Определение 16. Пусть A=(aij), B=(bij) - матрицы размера m×n над полем Р. Суммой

Матричные уравнения
Определение 22. Матрица n-го порядка вида называется единичной матрицей. Замечание 9. Если А –

Теорема о четности перестановки
Определение 27. Пусть М={1,2,…,n}. Перестановкой на множестве М или перестановкой n-й степени называется множество М с заданным расположением его эл

Определители второго и третьего порядков
Пусть А=- матрица n-го порядка над полем Р. Из элементов матрицы А будем составлять всевозможные произ

Связь алгебраических дополнений с минорами
Пусть Δ = = . Определение 31. Если в определителе Δ сгр

Определитель произведения матриц
Теорема 9. Пусть А и В – матрицы n-го порядка над полем P. Тогда |AB|=|A|∙|B|, т.е. определитель произведения матриц равен произведению определителей

Формула для вычисления обратной матрицы
Теорема 10. Пусть A=- матрица n-го порядка над полем P. Если определитель

Формулы Крамера
Теорема 11. Пусть (1) - система n линейных уравнений с n неизвестными над полем P, А=

То, что понятие изоморфизма действительно выражает одинаковость всех рассматриваемых свойств множеств, можно формулировать в виде следующего положения:

Если множества M и M" изоморфны относительно некоторой системы отношений S , то любое свойство множества M , формулированное в терминах отношений системы S (и, значит, и отношений, определяемых через отношения системы S ), переносится на множество M" , и обратно.

Разберем это положение на конкретном примере.

Пусть в множествах M и M" определено отношение "больше", и они изоморфны относительно этого отношения; тогда, если M упорядочено, т. е. если в M выполнены свойства 1) и 2) из раздела , то они выполнены и в M" .

Докажем свойство 1). Пусть a" и b" - элементы M" и a и b - соответствующие элементы M . В силу условия 1) в M выполнено одно из соотношений a = b , a > b , b > a . Отображение M на M" сохраняет отношение "больше". Значит, выполнено одно из соотношений a" = b" , a" > b" , b" > a" . Если бы в M" выполнялось более одного из них, то из сохранения отношения "больше" при отображении M" на M следовало бы выполнение более одного отношения для a и b , что противоречит условию 1).

Докажем свойство 2). Если a" > b" и b" > c" , то также a > b и b > c . В самом деле, в M должно быть a > c . Значит, a" > c" .

Займемся теперь изоморфизмом групп колец и полей. Ввиду того, что здесь отношения a + b = c и ab = c удовлетворяют дополнительным требованиям, что для любых a и b существует одно и только одно c , для которого a + b = c или ab = c (эти два требования являются по существу двумя дополнительными аксиомами), причем эти требования предполагаются выполненными как в M , так и в M" , определение изоморфизма групп колец и полей можно упростить по сравнению с определением , а именно требовать сохранения основных отношений лишь при переходе от M к M" . Ограничиваясь случаем колец и полей, нужным в дальнейшем при определении числовых областей (случай групп отличается от рассмотренного лишь тем, что налицо одна операция вместо двух), получаем таким образом:

Кольцо (или поле) R называется изоморфным кольцу (соответственно полю ) R" (запись ), если существует взаимно однозначное отображение R на R" , при котором сумме и произведению любых элементов R соответствуют сумма и произведение соответствующих элементов R" .

Покажем, что это определение является частным случаем общего определения . Для этого надо лишь убедиться, что обратное отображение R" на R также сохраняет сумму и произведение. Пусть в R" имеем: a" + b" = c" , и элементам a" , b" , c" при обратном отображении соответствуют a , b , c из R . Надо доказать, что a + b = c . Но если a + b = d ≠ c , то из определения, данного в предыдущем абзаце, следовало бы a" + b" = d" ≠ c" , что противоречит однозначности операции сложения в R"

Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и полей.

Пусть R 1 = (R 1 , +, ⋅, 0, 1 ) и R 2 = (R 2 , +, ⋅, 0, 1 ) - кольца.

Определение 2.9. Отображение f: R 1 → R 2 называют гомоморфизмом колец (кольца R 1 в кольцо R 1), если f(x + y) = f(x) + f(у), f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y) для любых x, у ∈ R 1 , т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца R 1 при отображении f равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце R 2 .

Если отображение f сюръективно (соответственно биективно), то его называют эпиморфизмом (соответственно изоморфизмом ) колец (кольца R 1 на кольцо R 2)

Пример 2.25. Рассмотрим R 1 = (ℤ, +, ⋅, 0, 1) - кольцо целых чисел - и ℤ k = (ℤ k , ⊕ k , ⨀ k , 0, 1) - кольцо вычетов по модулю k. Зададим отображение f: ℤ → ℤ k так: для всякого целого т образ f(m) равен остатку от деления m на k. Ранее мы уже доказали (см. пример 2.21), что для любых целых m и n имеет место равенство f(m + n) = f(m) ⊕ k f(n). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых тип также верно равенство f(m ⋅ n) = f(m) ⨀ k f(n). С учетом того что отображение f сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфизмом кольца целых чисел на кольцо ℤ k вычетов по модулю k. #

Без доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах колец (и полей). Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфизмах и изоморфизмах групп.

Теорема 2.20. Пусть R 1 и R 2 - произвольные кольца. Если f: R 1 → R 2 - гомоморфизм, то

1. образ нуля кольца R 1 при отображении f есть нуль кольца R 2 , т.е. f(0 ) = 0 ;
2. образ единицы кольца R 1 при отображении f есть единица кольца R 2 , т.е. f(1 ) = 1 ;
3. для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, противоположного элементу x, равен элементу, противоположному образу элемента x, т.е. f(-x) = -f(x);
4. если кольца R 1 и R 1 являются полями, то для всякого элемента х кольца R 1 образ элемента, обратного к элементу х по умножению, равен элементу, обратному к образу элемента x, т.е. f(x -1) = -1

Теорема 2.21 . Если f - гомоморфизм кольца R в кольцо K , a g - гомоморфизм кольца K в кольцо L , то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм кольца R , в кольцо L .

Теорема 2.22. Если f: R 1 → R 2 - изоморфизм кольца R 1 на кольцо R 2 , то отображение f -1 есть изоморфизм кольца R 2 на кольцо R 1 . #

Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо К называют гомоморфным образом кольца R , если существует гомоморфизм кольца R на кольцо K . Два кольца R и K называют изоморфными и пишут R ≅ K , если существует изоморфизм одного из них на другой.

Так, например, кольцо вычетов по модулю к есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому т сопоставляет остаток от деления m на k.

Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей.

Пример 2.26 . Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а + bi матрицу f(a + bi) = . Получим отображение f , которое, как уже было доказано, является инъекцией, причем а(0) = а(0 + 0 ⋅ i) = 0, где 0 - нулевая матрица. Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а 2 + b 2 , среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель.

Далее, легко проверить, что множество таких матриц за- замкнуто относительно операций сложения и умножения ма- матриц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу -А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу. Это значит, что множество матриц вида , a, b, ∈ ℝ , с операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обозначим его М (a,b)2 .

Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля М (a,b)2 . Так как

f[(a+bi) + (c+di)] = f{(a+c) + (b+d)i] =

F(a+bi) + f(c+di),

то и аддитивная группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивной группе поля М (a,b)2 . Итак, мы получаем, что поле комплексных чисел изоморфно полю матриц М (a,b)2 . Этот изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры.

Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.

п.1. Понятие кольца.

Определение. Алгебра , где - бинарные операции, - унарная операция, называется кольцом, если выполнены аксиомы.

I. - абелева группа.

II. 1) - ассоциативность умножения.

2) законы дистрибутивности: - левый дистрибутивный закон, - правый дистрибутивный закон.

Называется аддитивной группой кольца.

Определение. Кольцо называется кольцом с единицей , если существует

Определение. Кольцо называется коммутативным, если

Определение. Элементы называются делителями , если

Определение. Кольцо называется областью целостности, если оно обладает свойствами:

Кольцо - коммутативно.

Кольцо с единицей , где .

Кольцо не имеет делителей нуля.

П.2. Примеры колец.

Рассмотрим . Операции - бинарная операция на множестве , операция - унарная операция на множестве , , значит - алгебра. Аксиомы кольца на множестве выполнены, это следует из свойств целых чисел, значит - кольцо. Это кольцо с единицей 1, так как и . Это коммутативное кольцо, так как . Это кольцо без делителей нуля. Кольцо целых чисел является областью целостности.

Пусть - множество целых чётных чисел, - алгебра, кольцо без единицы, коммутативное, без делителей нуля, не является областью целостности.

Проверим, будет ли на множестве - кольцо.

Бинарная операция на множестве .

Унарная операция на множестве .

Значит - алгебра.

Аксиомы кольца для данной алгебры выполнены, так как , а на аксиомы выполнены (из свойств действительных чисел), значит - это кольцо.

Кольцо с единицей - это коммутативное кольцо без делителей нуля, является областью целостности.

Пусть . Определим операции , ; , .

Бинарные операции на множестве

Значит - унарная операция на множестве .

Значит - алгебра. Проверим, является ли эта алгебра кольцом. Для этого проверим аксиомы кольца. Равенство - равенство функции: из определения операций. Рассмотрим произведение , вычислим значения левой и правой частей от а) б). Аналогично проверяется, что все аксиомы кольца выполнены, значит является кольцом. Это кольцо с единицей . Действительно, (свойство единицы). Это коммутативное кольцо, так как . Покажем, что это кольцо с делителями нуля. Пусть , , , (нулевая функция). Вычислим (равно нулевой функции). Значит , - делители нуля, значит кольцо - не является областью целостности.

П.3. Простейшие свойства кольца.

Пусть - кольцо. Выпишем и проверим аксиомы кольца:

Доказательство. - абелева группа, имеем

Доказательство. - абелева группа, имеем .

Если , если .

Доказательство. По закону сокращения в группе, определенной на множестве .

Если , если .

Доказательство. Следует из свойства 4 групп.

Если , если .

Доказательство. Следует из 5 свойства групп.

Доказательство. Следует из 6 свойства групп.

Доказательство. Докажем, что .

Доказательство. Докажем, что рассмотрим сумму . Аналогично доказывается, что .

Обозначение: .

(правый дистрибутивный закон), (левый дистрибутивный закон).

Доказательство. Правый дистрибутивный закон: левая часть равна равна правой части. Аналогично доказывается левый дистрибутивный закон.

Доказательство. Вычислим сумму .

П.4. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец.

Дано два кольца и .

Определение. Гомоморфизмом кольца в кольце называется функция и обладающая свойствами:

Другими словами, гомоморфизм колец - это отображения, сохраняющие все операции кольца. Если - гомоморфизм кольца в , то - гомоморфизм абелевых групп в группу .

Теорема. Пусть и - кольца и , обладающих свойствами:

Тогда - гомоморфизм колец.

Доказательство. Из свойства является гомоморфизмом групп и , поэтому обладает свойствами: , , значит по определению - гомоморфизм колец.

Определение. Отображение называется изоморфизмом кольца на , если обладает свойствами:

Гомоморфизм колец.

Биекция.

Другими словами: изоморфизм - это гомоморфизм, являющийся биекцией.

П.5. Подкольца.

Пусть - кольцо, , .

Определение. Множество - замкнуто относительно операции , если .

Множество - замкнуто относительно операции , если . Множество - замкнуто относительно операции , если .

Теорема. Пусть - кольцо, , , если - замкнуто относительно операции , то - кольцо, которое называется подкольцом, кольца .

Доказательство. - бинарные операции, - унарная операция, так как - замкнутое множество. Так как , то существует , так как - замкнуто относительно операции , то , значит - алгебра, так как аксиомы выполнены на , то они выполнены и на , потому алгебра - кольцо.

Теорема. Пусть - числовое кольцо с единицей 1, тогда оно содержит подкольцо целых чисел.

П.6. Аксиоматическое определение кольца целых чисел.

Алгебраическая система , где бинарные операции, - унарная операция, , , называется системой целых чисел, если выполнены три группы аксиом:

I. - кольцо.

Абелева группа

Аддитивная группа

II. Множество - замкнуто относительно операций и алгебраическая система является системой натуральных чисел (системой Пеано).

Аксиома индукции: пусть . Если множество удовлетворяет условиям: | , где . Число называется делимым, - делителем, - частным, - остатком при делении на .

Доказательство. Докажем существование хотя бы одной пары чисел , . Для этого рассмотрим множество . Множество содержит как отрицательные, так и неотрицательные числа, пусть - наименьшее неотрицательное число в , тогда . Докажем, что , предположим противное . Рассмотрим число . противоречие с выбором . Доказано, что , . Докажем единственность чисел и , пусть . , . Докажем, что , предположим противное . Пусть . Имеем противоречие, так как между числами нет чисел, делящихся на . Доказано, что , если , то , а отсюда следует, что . Доказана единственность чисел и .

Список литературы

Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002

В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. - М.: Физмат лит-ра, 2000

Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье - М.: Физмат лит-ра, 2001